Circunferencia y Círculo

Circunferencia y Círculo:
Circunferencia es la línea curva cerrada y plana cuyos puntos están a la misma distancia (radio) de un punto (centro). Proviene del latín circun que significa alrededor.

La longitud de la circunferencia se mide mediante la siguiente fórmula:

L= 2Π  x r

Rectas de la circunferencia:

Ángulo central.-

Diámetro.-

Cuerda.-

Arco.-

Flecha.- 

Secante.-

Tangente.-

Exterior.-

Central.-

Inscrito.-

Semi- Inscrito.-

Interior.-

Exterior.-

Circunscrito.-

Arcos iguales, cuerdas iguales.-

Cuerda, diámetro y mediana.-

Lugar Geométrico.-

Poligonos

Polígonos:

Definición.- Un polígono es la figura geométrica de un plano que está establecida por líneas rectas. Se trata de un fragmento plano que está formado por segmentos consecutivos sin alineación, que reciben el nombre de lados.


Clasificación de los polígonos:

Los polígonos se clasifican básicamente en: polígonos regulares y polígonos irregulares.

• Polígono Regular 

Polígono en el cual todos sus lados son de igual longitud, y todos sus vértices están circunscritos en una circunferencia. Se clasifican en:

• Triángulo equilátero: polígono regular de 3 lados,
• Cuadrado: polígono regular de 4 lados,
• Pentágono regular: polígono regular de 5,
• Hexágono regular: polígono regular de 6 lados,
• Heptágono regular: polígono regular de 7 lados,
• Octágono regular: polígono regular de 8 lados,... y así sucesivamente.

• Polígono Irregular 

Polígono en el cual sus lados no son de igual longitud y/o sus vértices no están contenidos  en una circunferencia. De acuerdo al número de sus lados, se denominan:

-                   - Triángulo: polígono de 3 lados,

-                    - Cuadrilátero: polígono de 4 lados,

-                    - Pentágono: polígono de 5 lados,

-                    - Hexágono: polígono de 6 lados,

-                    - Heptágono: polígono de 7 lados,

-                    - Octágono: polígono de 8 lados,... y así sucesivamente.

• Polígono Inscrito:

 Polígono que se halla dentro (en su región interior) de otra figura geométrica.

Por ejemplo, un cuadrado ABCD inscrito en una circunferencia de centro O y radio OA (significa que el cuadrado está contenido dentro de la circunferencia).

• Polígono circunscrito: 

Polígono que contiene en su interior, a otra figura.

• Poligono convexo:

Todos sus ángulos menores que 180°. 
Todas sus diagonales son interiores.

• Polígono Concavo

Si un ángulo mide más de 180°. 

Si una de sus diagonales es exterior.

Ángulos exteriores de un polígono:

• los angulos exteriores de un polígono suman 360 grados, en otras palabras, los ángulos exteriores suman una vuelta completa. Piénsalo de esta manera: las líneas van cambiando de dirección y al final vuelven al principio.

Ángulos interiores de un polígono:

• los ángulos internos de un triángulo forman 180º
• los ángulos internos de un cuadrilátero suman 360º

cada vez que se agrega un lado mas a cualquier polígono, sumamos otros 180º a el total.

Triángulos:

• un triángulo tiene tres lados y tres ángulos.
• los ángulos de un triángulo siempre suman 180º

Clasificación:

1.- Triángulo equilátero.- tiene tres lados y tres ángulos iguales.

 2.- Triángulo isósceles.- tiene dos lados iguales y dos ángulos iguales

3.-Triángulo escaleno.- tiene todos sus lados diferentes por lo tanto ninguno de sus ángulos son iguales.

Los triángulos también tienen nombres que te dicen los tipos de ángulos:

• Triángulo acutángulo.- todos los ángulos miden menos de 90º.
• Triángulo rectángulo.- tiene un ángulo recto (90º)
• Triángulo obtusángulo.- tiene un ángulo mayor a 90º

Mediatríz de un lado del triángulo.-

segmento PERPENDICULAR al lado de un triángulo por su punto medio.

Circuncentro.- Se trata del centro de una circunferencia que rodea a un triángulo y está en contacto con cada vértice del triángulo.

Medianas.- Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.

Baricentro.- Es el punto de corte de las tres medianas.El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, el segmento que une el baricentro con el vértice mide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto.

Alturas de un triángulo.- Altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).

Ortocentro.- Es el punto de corte de las tres alturas.

Bisectrices de un triángulo.- La bisectriz de un triángulo es el segmento que, dividiendo uno de sus tres ángulos en dos partes iguales, termina en el correspondiente lado opuesto.

Las tres bisectrices de un triángulo confluyen en un punto llamado incentro (I). Éste siempre es un punto interior de cualquier triángulo.
El incentro (I) es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo

Triángulo órtico.- es el que se forma a partir de los pies de las alturas de un triángulo.

Cervianas.- son ternas de rectas concurrentes que pasan por los vértices de un triángulo.

Propiedades de un triángulo:

Todos sus angulos suman 180º

Teorema del seno:

Cada lado de un triángulo es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto.

Teorema del coseno:

En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman.

Teorema del cateto:

En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.

                          

a hipotenusa

b y c catetos

m proyección del cateto b sobre la hipotenusa

n proyección del cateto c sobre la hipotenusa

Teorema de la altura:

En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los 2 segmentos que dividen a ésta.

 

Teorema de Pitágoras:

En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (llamamos "triángulo rectángulo" a un triángulo con un ángulo recto)

Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²):

a2 + b2 = c2



Construcciones de triángulos:

Dados sus tres lados:

Dados dos lados y un ángulo:

Construcciones Gráficas Fundamentales

Construcciones Gráficas Fundamentales

Mediatriz:La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a éste que lo divide en dos partes iguales. Los pasos a seguir para su trazado son:

1. Abre el compás algo más de la mitad del segmento dado AB y, con centro en el extremo A traza una arco.

2. Sin modificar la abertura del compás y con centro en B. traza otro arco que cortará al anterior en los puntos C y D.

3. Une los puntos C y D para obtener la recta mediatriz.

Bisectriz 

Conocido el vértice:La bisectriz de un ángulo es la recta que pasando por el vértice del ángulo lo divide en dos ángulos iguales.los pasos para su trazado son:

1.-Se traza un arco correspondiente al ángulo

2.-Desde los dos extremos del arco trazado se trazan, con cualquier abertura del compás, dos arcos que han de cortarse en un punto.

3.-La bisectriz se obtiene dibujando la recta que une ese punto con el vértice.   

Con en vertice exterior:

Perpendicular por un punto:

Perpendicular a un punto exterior:

Procedimiento:

 1. Con el compás y con centro en el punto P, se traza un arco de radio cualquiera que corte a la recta en dos puntos A y B. 

2. Con el compás y con el mismo radio anterior, se dibuja un arco con centro en el punto A. 

3. Con el compás y con el mismo radio anterior, se dibuja un arco con centro en el punto B. 

4. Estos dos últimos arcos se cortan en dos puntos, uno coincidente con P y el otro es su simétrico respecto a la recta. 

5. Uniendo el punto P con su simétrico tendremos la recta perpendicular a la recta dada.

Perpendicular a un segmento por un extremo:

Transportar un ángulo:

1.Se traza un arco de circunferencia de centro V y radio arbitrario, obteniendo los puntos A y B. 

2. Se traza un arco de circunferencia de centro V’ y radio VA obteniendo el punto C. 

3. Se traza un arco de circunferencia de centro A y de radio AB. 

4. Se traza un arco de circunferencia de centro C y radio AB, obteniendo el punto D.

5. Se traza la semirrecta VD, obteniendo el ángulo α.

División de un ángulo en 3 partes iguales:

1. Haciendo centro en el vértice del ángulo V , con un radio cualquiera determinamos el punto A sobre uno de los tramos rectos. 

2. Haciendo centro en A con el radio anterior, se traza un arco que corta al primer arco trazado en el punto B. 

3. La recta que une B y el vértice V dividen el ángulo recto en uno de 30° y un ángulo de 60°. 

4. Solo que da trazar la bisectriz del ángulo creado de 60°, que está comprendido entre las rectas que pasan por BV y VA. 

5. El punto obtenido C,unido al V, define una recta que divide el ángulo de 60° en dos de 30°, y por lo tanto hemos dividido el ángulo rectos en tres ángulos iguales.

Centro de un arco cualquiera de Circunferencia:

Para encontrar el centro de la circunferencia, dibujamos dos cuerdas (tomando los puntos dados dos a dos) y trazamos sus mediatrices, que se cortarían en dicho centro.

Lugar geométrico:

Imagínate una serie de puntos en un plano en que todos gozan de la misma propiedad a ese conjunto de puntos le llamamos lugar geométrico.

Arco Capaz:

Arco capaz es el Lugar Geométrico de los puntos del plano desde los cuales se ven los extremos de un segmento desde un mismo ángulo.

Pasos para trazar un arco capaz:

1. Dibuja la mediatriz m del segmento AB.

2. En un extremo del segmento, dibuja una recta r que forme un ángulo de 60º con el segmento.

3. Desde ese mismo extremo, dibuja una recta s perpendicular a r, que cortará a la mediatriz m en el punto O.

4.El punto O es el centro de un arco que pasa por A y por B y desde cuyos puntos se ven A y B con un ángulo de 60º. Es decir, O es el centro del Arco Capaz de 60º del segmento AB.